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设抛物线的焦点为,点线段的中点在抛物线上.设动直线与抛物线相切于点,且与抛物线的准线相交于点,以为直径的圆记为圆

1)求的值;

2)试判断圆轴的位置关系;

3)在坐标平面上是否存在定点,使得恒过点?若存在,求出的坐标;若不存在,说明理由

 

【答案】

1 2)见解析 (3)存在

【解析】

试题分析:

1)判断抛物线的焦点位置,得到焦点坐标,利用中点坐标公式得到FA的中点坐标带入抛物线即可求的P的值.

2)直线与抛物线相切,联立直线与抛物线,判别式为0即可得到k,m之间的关系,可以用k来替代m,得到P点的坐标,抛物线准线与直线的方程可得到Q点的坐标,利用中点坐标公式可得到PQ中点坐标,通过讨论k的取值范围得到中点到x轴距离与圆半径(PQ为直径)的大小比较即可判断圆与x轴的位置关系.

3)由(2)可以得到PQ的坐标(k表示),根据抛物线对称性知点轴上,设点坐标,则M点需满足,即向量内积为0,即可得到M点的坐标,M点的坐标如果为常数(不含k),即存在这样的定点,如若不然,则不存在.

试题解析:

解:(1)利用抛物线的定义得,故线段的中点的坐标为,代入方程得,解得 2

2由(1)得抛物线的方程为,从而抛物线的准线方程为 3

得方程

由直线与抛物线相切,得 4

,从而,即 5

,解得 6

的中点的坐标为

圆心距离

8

∴当时,,圆轴相切;

时,,圆轴相交; 9

(或,以线段为直径圆的方程为:

 

∴当时,,圆轴相切;

时,,圆轴相交; 9

3)方法一:假设平面内存在定点满足条件,由抛物线对称性知点轴上,设点坐标10

由(2)知

得,

所以 13

所以平面上存在定点,使得恒过点. 14

证法二:由(2)知的中点的坐标为

所以圆的方程为 11

整理得 12

上式对任意均成立,

当且仅当,解得 13

所以平面上存在定点,使得恒过点. 14

考点:抛物线 直线与抛物线的位置关系 圆与直线的位置关系 向量内积

 

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