Question

若函数f（x）=

2

cosxsin（x+

π

4

）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及最大值；
（Ⅱ）写出函数f（x）在[0，π]上的单调区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）先化简f（x）=

2

cosxsin（x+

π

4

）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，由正弦函数的性质即可求函数f（x）的最小正周期及最大值；
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，可解得函数单调递增区间，由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，可解得函数单调递减区间，从而可求函数f（x）在[0，π]上的单调区间．

解答： 解：f（x）=

2

cosxsin（x+

π

4

）=cosx（sinx+cosx）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

．
（Ⅰ）由正弦函数的性质：f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π；最大值为

2 +1

2

．
（Ⅱ）∵由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，可解得函数单调递增区间为：[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，可解得函数单调递减区间为：[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z，
∴函数f（x）在[0，π]上的单调区间：函数f（x）在[0，

π

8

]和[

5π

8

，π]上单调递增，在[

π

8

，

5π

8

]上单调递减．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基础题．