Question

数列1，2，3，5，8，13，21，…最初是由意大利数学家列昂那多•斐波那契于1202年兔子繁殖问题中提出来的，称之为斐波那契数列，又称黄金分割数列，后来发现很多自然现象都符合这个数列的规律，某校数学兴趣小组对该数列研究后，类比该数列各项产生的办法，得到数列{a_n}：1，2，1，6，9，10，17，…，设数列{a_n}的前n项和为S_n
（Ⅰ）请计算：a₁+a₂+a₃，a₂+a₃+a₄，a₃+a₄+a₅，并依此规律求数列{a_n}的第8项a₈=

 

（Ⅱ）S_3n+1=

 

（请用关于n的多项式表示．1²+2²+3³+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

．

Answer 1

考点：数列的求和,类比推理

专题：等差数列与等比数列

分析：①由题意得a₁=1，a₂=2，a₃=1，a₄=6，a₅=9，a₆=10，a₇=17，…，计算：a₁+a₂+a₃=4，a₂+a₃+a₄=9，a₃+a₄+a₅=16，…，可归纳得数列{a_n}满足的递推关系式为a_n+a_n+1+a_n+2=（n+1）²，进而得到a_n+3-a_n=2n+3．即可得出a₈=a₅+（2×5+3）．
②由a_n+a_n+1+a_n+2=（n+1）²，可得a₁+a₂+a₃=（1+1）²，a₄+a₅+a₆=（4+1）²，a₇+a₈+a₉=（7+1）²，…，a_3n-2+a_3n-1+a_3n=（3n-1）²=9n²-6n+1，
得到S_3n=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+（a₇+a₈+a₉）+…+（a_3n-2+a_3n-1+a_3n）=9（1²+2²+…+n²）-6（1+2+…+n）+n．由a_n+3-a_n=2n+3得：a₄-a₁=2×1+3，a₇-a₄=2×4+3，…，a_3n+1-a_3n-2=2（3n-2）+3．利用“累加求和”可得a_3n+1-a₁=3n²+2n，即可得出S_3n+1=S_3n+a_3n+1．

解答： 解：①由题意得a₁=1，a₂=2，a₃=1，a₄=6，a₅=9，a₆=10，a₇=17，…，
计算：a₁+a₂+a₃=4，a₂+a₃+a₄=9，a₃+a₄+a₅=16，…，
可归纳得数列{a_n}满足的递推关系式为a_n+a_n+1+a_n+2=（n+1）²，
可得a_n+1+a_n+2+a_n+3=（n+2）²，
两式相减得a_n+3-a_n=2n+3．
∴a₈=a₅+（2×5+3）=9+13=22．
②由a_n+a_n+1+a_n+2=（n+1）²，
可得a₁+a₂+a₃=（1+1）²，a₄+a₅+a₆=（4+1）²，a₇+a₈+a₉=（7+1）²，…，a_3n-2+a_3n-1+a_3n=（3n-1）²=9n²-6n+1，
∴S_3n=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+（a₇+a₈+a₉）+…+（a_3n-2+a_3n-1+a_3n）
=9（1²+2²+…+n²）-6（1+2+…+n）+n
=9×

n(n+1)(2n+1)

6

-6×

n(n+1)

2

+n
=3n3+

3

2

n2-

1

2

n．
由a_n+3-a_n=2n+3得：
a₄-a₁=2×1+3，a₇-a₄=2×4+3，…，a_3n+1-a_3n-2=2（3n-2）+3．
∴a_3n+1-a₁=2×（1+4+…+3n-2）+3n=2×

n(3n-2+1)

2

+3n=3n²+2n，
∴a_3n+1=3n²+2n+1．
∴S_3n+1=S_3n+a_3n+1=3n3+

3

2

n2-

1

2

n+3n²+2n+1=3n3+

9

2

n2+

3

2

n+1．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”，考查了猜想归纳球数列的通项公式的能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．