Question

抛物线y=ax²的焦点为F（0，1），P为该抛物线上的动点，则a=

 

；线段FP中点M的轨迹方程为

 

．

Answer 1

考点：圆锥曲线的轨迹问题

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意可得可得2p=

1

a

=4，由此求得a的值；设M（x，y），P（m，n），则m=2x，n=2y-1，利用P为抛物线上的动点，代入抛物线方程，即可得出结论．

解答： 解：抛物线y=ax²即x²=

1

a

y，根据它的焦点为F（0，1）可得2p=

1

a

=4，
∴a=

1

4

，
设M（x，y），P（m，n），则m=2x，n=2y-1，
∵P为抛物线上的动点，
∴2y-1=

1

4

×4x²，即x²-2y+1=0
故答案为：

1

4

；x²-2y+1=0．

点评：本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查代入法求轨迹方程，属于中档题．