Question

13．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}-（{{a^2}-a}）lnx-x$（a≤$\frac{1}{2}$）．
（Ⅰ） 讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ） 设g（x）=a²lnx²-x，若f（x）＞g（x）对?x＞1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）问题转化为$3{a^2}-a＜\frac{x^2}{2lnx}$对?x＞1恒成立，令$h（x）=\frac{x^2}{2lnx}$，通过讨论函数h（x）的单调性得到其最小值，解关于a的不等式即可求出a的范围．

解答 解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），
$f'（x）=x-\frac{{{a^2}-a}}{x}-1=\frac{{{x^2}-x-（{{a^2}-a}）}}{x}=\frac{{（{x-a}）（{x+a-1}）}}{x}$，
令f′（x）=0，得x=a或x=1-a．-----（2分）
当$a≤\frac{1}{2}$时，a≤1-a，且1-a＞0．
①当a=$\frac{1}{2}$时，a=1-a=$\frac{1}{2}$＞0，f′（x）＞0．
∴f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；--------------------------（3分）
②当a≤0时，f（x）在（0，1-a）上单调递减，在（1-a，+∞）上单调递增；---------------------------（4分）
③当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，f（x）在（0，a）和（1-a，+∞）上单调递增，在（a，1-a）上单调递减．---------------（5分）
（II）由题意知，$\frac{1}{2}{x^2}-（{{a^2}-a}）lnx-x＞{a^2}ln{x^2}-x$，
即$3{a^2}-a＜\frac{x^2}{2lnx}$对?x＞1恒成立
令$h（x）=\frac{x^2}{2lnx}$，则$h'（x）=\frac{{x（{2lnx-1}）}}{{2{{（{lnx}）}^2}}}$．---------------（7分）
令h′（x）=0，得$x=\sqrt{e}$．---------------（8分）
当$x∈（{1，\sqrt{e}}）$时，h（x）单调递减；$x∈（{\sqrt{e}，+∞}）$时，h（x）单调递增．
所以当$x=\sqrt{e}$时，h（x）取得最小值$h（{\sqrt{e}}）=e$．---------------（10分）
∴3a²-a＜e⇒$\frac{{1-\sqrt{1+12e}}}{6}＜a＜\frac{{1+\sqrt{1+12e}}}{6}$．
又∵$a≤\frac{1}{2}$，∴$\frac{{1-\sqrt{1+12e}}}{6}＜a≤\frac{1}{2}$．---------------（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．