Question

8．已知函数f（x）=e^x（e为自然对数的底数，e=2.71828…），g（x）=$\frac{a}{2}$x+b（a，b∈R）．
（1）若h（x）=f（x）g（x），b=1-$\frac{a}{2}$．求h（x）在[0，1]上的最大值φ（a）的表达式；
（2）若a=4时，方程f（x）=g（x）在[0，2]上恰有两个相异实根，求实根b的取值范围；
（3）若b=-$\frac{15}{2}$，a∈N^*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数a．

Answer 1

分析 （1）求出h（x）导数，通过讨论a的范围，求导导函数的符号，从而求出函数的单调区间，得到h（x）的最大值；
（2）令F（x）=f（x）-g（x），求出F（x）的导数，根据函数的单调性，得到关于b的不等式组，求出b的范围即可；
（3）令p（x）=f（x）-g（x），求出p（x）的导数，根据函数的单调性求出a的最大正整数即可．

解答 解：（1）$b=1-\frac{a}{2}$时，$h（x）={e^x}（\frac{a}{2}x+1-\frac{a}{2}）（a∈R）$，
∴$h'（x）={e^x}（\frac{a}{2}x+1）$，
①当a=0时，h′（x）=e^x＞0，h（x）在[0，1]上为增函数，
则此时φ（a）=h（1）=e；
②当a＞0时，$h'（x）={e^x}•\frac{a}{2}（x+\frac{2}{a}）$，h（x）在$（-\frac{2}{a}，+∞）$上为增函数，
故h（x）在[0，1]上为增函数，此时φ（a）=h（1）=e；     …（2分）
③当a＜0时，$h'（x）={e^x}•\frac{a}{2}（x+\frac{2}{a}）$，h（x）在$（-∞，-\frac{2}{a}）$上为增函数，在$（-\frac{2}{a}，+∞）$上为减函数，
若$0＜-\frac{2}{a}＜1$，即a＜-2时，故h（x）在$[0，-\frac{2}{a}]$上为增函数，在$[-\frac{2}{a}，1]$上为减函数，
此时$φ（a）=h（-\frac{2}{a}）={e^{-\frac{2}{a}}}（-1+b）=-\frac{a}{2}•{e^{-\frac{2}{a}}}$，…（5分）
若$-\frac{2}{a}≥1$，即-2≤a＜0时，h（x）在[0，1]上为增函数，则此时φ（a）=h（1）=e；
∴综上所述：φ（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-{\frac{a}{2}e}^{-\frac{2}{a}}，a＜-2}\\{e，a≥-2}\end{array}\right.$；                 …（6分）
（2）F（x）=f（x）-g（x）=e^x-2x-b，F′（x）=e^x-2，
∴F（x）在（0，ln2）上单调递减；在（ln2，+∞）上单调递增；…（7分）
∴F（x）=e^x-2x-b在[0，2]上恰有两个相异实根
$?\left\{\begin{array}{l}F（0）=1-b≥0\\ F（ln2）=2-2ln2-b＜0\\ F（2）={e^2}-4-b≥0\end{array}\right.?2-2ln2＜b≤1$，
∴实数b的取值范围是b∈（2-2ln2，1]；              …（10分）
（3）由题设：$?x∈R，p（x）=f（x）-g（x）={e^x}-\frac{a}{2}x+\frac{15}{2}＞0$，（*）
∵$p'（x）={e^x}-\frac{a}{2}$，故p（x）在$（----∞，ln\frac{a}{2}）$上单调递减；在$（ln\frac{a}{2}，+∞）$上单调递增，
∴（*）$?p{（x）_{min}}=p（ln\frac{a}{2}）=\frac{a}{2}-\frac{a}{2}ln\frac{a}{2}+\frac{15}{2}=\frac{1}{2}（a-aln\frac{a}{2}+15）＞0$，
设$q（x）=x-xln\frac{x}{2}+15=x-x（lnx-ln2）+15$，则$q'（x）=1-ln\frac{x}{2}-1=-ln\frac{x}{2}$，
∴q（x）在（0，2）上单调递增；在（2，+∞）上单调递减，…（12分）
而q（2e²）=2e²-2e²lne²+15=15-2e²＞0，
且$q（15）=15-15ln\frac{15}{2}+15=15（2-ln\frac{5}{2}）=15（ln{e^2}-ln\frac{15}{2}）＜0$，
故存在${x_0}∈（2{e^2}，15）$使q（x₀）=0，
且x∈[2，x₀）时h（x）＞0，x∈（x₀，+∞）时h（x）＜0，
又∵$q（1）=16-ln\frac{1}{2}＞0$，$7＜{e^2}＜\frac{15}{2}$，
∴a∈N^*时使f（x）的图象恒在g（x）图象的上方的最大正整数a=14．…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．