Question

18．已知动点P在抛物线x²=2y上，过点P作x轴的垂线，垂足为H，动点Q满足$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PH}$．
（1）求动点Q的轨迹E的方程；
（2）点M（-4，4），过点N（4，5）且斜率为k的直线交轨迹E于A、B两点，设直线MA、MB的斜率分别为k₁、k₂，求|k₁-k₂|的最小值．

Answer 1

分析 （1）设Q（x，y），则P（x，2y），代入x²=2y得出轨迹方程；
（2）联立直线AB方程与Q的轨迹方程，得出A，B的坐标关系，代入斜率公式化简|k₁-k₂|，利用二次函数的性质求出最小值．

解答 解：（1）设点Q（x，y），由$\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PH}$，则点P（x，2y），
将点P（x，2y）代入x²=2y得x²=4y．
∴动点Q的轨迹E的方程为x²=4y．
（2）设过点N的直线方程为y=k（x-4）+5，A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$）．
联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-4）+5\\{x^2}=4y\end{array}\right.$，得x²-4kx+16x-20=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=4k\\{x_1}{x_2}=16k-20\end{array}\right.$．
∵k₁=$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-4}{{x}_{1}+4}$=$\frac{{x}_{1}-4}{4}$，k₂=$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-4}{{x}_{2}+4}$=$\frac{{x}_{2}-4}{4}$．
∴|k₁-k₂|=$\frac{1}{4}$|x₁-x₂|=$\frac{1}{4}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}-4k+5}$=$\sqrt{（k-2）^{2}+1}$≥1．
∴当k=2时，|k₁-k₂|取得最小值1．

点评 本题考查了轨迹方程的求解，直线与抛物线的位置关系，直线的斜率公式，属于中档题．