Question

8．若某多面体的三视图如图所示（单位：cm），
①则此多面体的体积是$\frac{5}{6}$cm³，
②此多面体外接球的表面积是3πcm²．

Answer 1

分析 根据三视图得该几何体是由棱长为1cm的正方体、沿相邻三个侧面的对角线截去一个三棱锥得到一个多面体，画出图，
①由正方体的体积和椎体的体积公式求出此多面体的体积；
②由正方体的外接球求出此多面体外接球的半径，代入球的表面积公式求解．

解答 解根据三视图得该几何体是由棱长为1cm的正方体ABCD-EFGH、
沿相邻三个侧面的对角线截去一个三棱锥E-AFH得到一个多面体，
①此多面体的体积V=$1-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{5}{6}$（cm³）；
②此多面体外接也是正方体的外接球，设半径为R，
则2R=$\sqrt{3}$，即R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（cm），
所以此多面体外接球的表面积S=4πR²=3π（cm²），
故答案为：①$\frac{5}{6}$；②3π．

点评 本题考查三视图求几何体的体积、以及外接球的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．