Question

19．已知抛物线C₁：y²=4$\sqrt{3}$x的焦点为F，其准线与双曲线C₂：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，双曲线的一条渐近线与抛物线C₁在第一象限内的交点的横坐标为$\sqrt{3}$，且△FAB为正三角形，则双曲线C₂的方程为$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{8}=1$．

Answer 1

分析 抛物线C₁：y²=4$\sqrt{3}$x的焦点为F（$\sqrt{3}$，0），其准线方程为x=-$\sqrt{3}$，利用△FAB为正三角形，可得A的坐标，代入双曲线的方程，可得a，b的方程，利用双曲线的一条渐近线与抛物线C₁在第一象限内的交点的横坐标为$\sqrt{3}$，可得交点坐标，可得a，b的方程，从而可得a，b的值，即可求出双曲线C₂的方程．

解答 解：抛物线C₁：y²=4$\sqrt{3}$x的焦点为F（$\sqrt{3}$，0），其准线方程为x=-$\sqrt{3}$，
∵△FAB为正三角形，
∴|AB|=4，
将（-$\sqrt{3}$，2）代入双曲线C₂：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1可得$\frac{3}{{a}^{2}}-\frac{4}{{b}^{2}}$=1，
∵双曲线的一条渐近线与抛物线C₁在第一象限内的交点的横坐标为$\sqrt{3}$，
∴交点坐标为（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）
∴$\frac{b}{a}$=2，
∴a=$\sqrt{2}$，b=2$\sqrt{2}$，
∴双曲线C₂的方程为$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{8}=1$．
故答案为：$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{8}=1$．

点评 本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，正确运用抛物线、双曲线的性质是关键．