Question

4．已知实数x和复数m满足（4+3i）x²+mx+4-3i=0，则|m|的最小值是8．

Answer 1

分析 设m=a+bi，得到（4x²+ax+4）+（3x²+bx-3）i=0，解出a，b的值，从而求出|m|的最小值即可．

解答 解：设m=a+bi，
∵（4+3i）x²+（a+bi）x+4-3i=0，
∴（4x²+ax+4）+（3x²+bx-3）i=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{4x}^{2}+ax+4=0}\\{{3x}^{2}+bx-3=0}\end{array}\right.$，
∴a=-$\frac{4{（x}^{2}+1）}{x}$，b=-$\frac{3{（x}^{2}-1）}{x}$，
∴|m|=$\sqrt{{[-\frac{4{（x}^{2}+1）}{x}]}^{2}{+[-\frac{3{（x}^{2}-1）}{x}]}^{2}}$=$\sqrt{2{5x}^{2}+\frac{25}{{x}^{2}}+14}$≥$\sqrt{2•\sqrt{2{5x}^{2}•\frac{25}{{x}^{2}}}+14}$=$\sqrt{64}$=8，
当且仅当x²=1时“=”成立，
故答案为：8．

点评 本题考查了复数的运算性质，考查解方程组问题，是一道基础题．