Question

13．经过抛物线C：y²=2px（p＞0）外的点A（-2，-4），且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线l与抛物线C交于M，N两点，且|AM|、|MN|、|AN|成等比数列．
（1）求抛物线C的方程；
（2）E，F为抛物线C上的两点，且OE⊥OF（O为坐标原点），求△OEF的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）直线MN的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），代入抛物线方程求抛物线C的方程，利用参数的几何意义，结合|AM|、|MN|、|AN|成等比数列，建立方程求出p，即可求抛物线C的方程；
（2）利用抛物线的极坐标方程，确定S，即可求△OEF的面积的最小值．

解答 解：（1）直线MN的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）…（1分）
代入抛物线方程得${t^2}-（8\sqrt{2}+2\sqrt{2}p）t+32+8p=0$
所以|AM|•|AN|=32+8p…（2分）$|MN{|^2}={（8\sqrt{2}+2\sqrt{2}p）^2}-4（32+8p）$…（3分）
解得p=1
所以抛物线方程为y²=2x…（4分）
（2）抛物线的极坐标方程为ρsin²θ=2cosθ，…（5分）
设$E（{ρ_1}，θ），F（{ρ_2}，\frac{3}{2}π+θ）$，${ρ_1}=\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$…（6分）${ρ_2}=\frac{2sinθ}{{{{cos}^2}θ}}$…（7分）
所以$S=\frac{1}{2}×\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}×\frac{2sinθ}{{{{cos}^2}θ}}=\frac{4}{sin2θ}$…（8分）
当$2θ=\frac{π}{2}+2kπ$时，即$θ=\frac{π}{4}+kπ，k∈Z$所求面积取得最小值4…（10分）

点评 本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查等比数列的性质，正确运用直线的参数方程，抛物线的极坐标方程是关键，属于中档题．