Question

1．过抛物线y²=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A′、B′两点，以线段A′B′为直径的圆C过点（-2，3），则圆C的方程为（　　）

• A． （x+1）²+（y-2）²=2
• B． （x+1）²+（y-1）²=5
• C． （x+1）²+（y+1）²=17
• D． （x+1）²+（y+2）²=26

Answer 1

分析 设AB的斜率为k，得出AB的方程，与抛物线方程联立方程组，根据根与系数的关系得出圆的圆心坐标和半径，把（-2，3）代入圆方程解出k，从而得出圆的方程．

解答 解：抛物线的准线方程为x=-1，焦点F（1，0）．
设AB的方程为y=k（x-1），联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得y²-$\frac{4}{k}$y-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=4$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}+1}$．
∴以A′B′为直径圆的圆C的圆心为（-1，$\frac{2}{k}$），半径为2$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}+1}$．
圆C的方程为（x+1）²+（y-$\frac{2}{k}$）²=4（$\frac{1}{{k}^{2}}$+1）．
把（-2，3）代入圆的方程得1+（3-$\frac{2}{k}$）²=4（$\frac{1}{{k}^{2}}$+1）．解得k=2．
∴圆C的方程为：（x+1）²+（y-1）²=5．
故选：B．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．