Question

12．设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线l交抛物线C于M，N两点，已知|MN|=4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F任意作相互垂直的两条直线l₁，l₂，分别交抛物线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E，设线段AB，DE的中点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标．

Answer 1

分析 （1）把x=$\frac{p}{2}$代入抛物线方程得出M，N的坐标，根据|MN|=4列方程解出p；
（2）设直线l₁的斜率为k，联立方程组消元，根据根与系数的关系得出P，Q的坐标，求出PQ的方程，根据方程特点判断是否过定点．

解答 解：（1）抛物线的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），∴直线l的方程为x=$\frac{p}{2}$．
把x=$\frac{p}{2}$代入y²=2px得y=±p．
∴|MN|=2p=4，即p=2．
∴抛物线的方程为：y²=4x．
（2）设直线l₁的斜率为k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则直线l₁的方程为y=k（x-1），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
则△=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0．
∴x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=$\frac{4}{k}$．
∴AB的中点P（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$）．
同理求出Q（1+2k²，-2k）．
当$\frac{2}{k}=-2k$即k=1或-1时，直线PQ方程为x=3．
当k≠±1时，直线PQ的斜率k_PQ=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$，
∴直线PQ的方程为y+2k=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-1-2k²），即（k²-1）y+（x-3）k=0．
∴直线PQ经过点（3，0）．
综上，直线PQ过定点R（3，0）．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线的斜率，属于中档题．