Question

17．已知函数f（x）=cos²x+sinx
（1）求f（$\frac{2π}{3}$）的值；
（2）求f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}}$]上的最值．

Answer 1

分析 （1）直接把x=$\frac{2π}{3}$代入函数解析式求得f（$\frac{2π}{3}$）的值；
（2）化余弦为正弦后配方，由x得范围求得sinx的范围，则f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}}$]上的最值可求．

解答 解：（1）$f（\frac{2π}{3}）={cos^2}\frac{2π}{3}+sin\frac{2π}{3}=\frac{{1+2\sqrt{3}}}{4}$；…（6分）
（2）$f（x）={cos^2}x+sinx=-{sin^2}x+sinx+1=-{（{sinx-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{5}{4}$．
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}}$]，∴sinx∈[-1，1]．
∴当$sinx=\frac{1}{2}$时，y_max=$\frac{5}{4}$；
当sinx=-1时，y_min=-1．…（12分）

点评 本题考查三角函数值的求法，考查了利用配方法求三角函数的最值，属基础题．