Question

6．已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足f（x）=$\frac{{f}^{′}（1）}{2}$•e^2x-2+x²-2f（0）x，且g′（x）+2g（x）＜0，则下列不等式成立的是（　　）

• A． f（2）g（2015）＜g（2017）
• B． f（2）g（2015）＞g（2017）
• C． g（2015）＜f（2）g（2017）
• D． g（2015）＞f（2）g（2017）

Answer 1

分析 先对f（x）求导，再令x=0，求出f（x）的解析式，对于g（x）+g′（x）＜0，构造函数F（x）=e^xg（x），利用导数和函数的单调性的关系得到F（x）单调递减，得到F（2015）＞F（2017），即e^2×2015g（2015）＞e^2×2017g（2017），即g（2015）＞f（2）g（2017），即可得到答案．

解答 解：f（x）=$\frac{{f}^{′}（1）}{2}$•e^2x-2+x²-2f（0）x，
∴f′（x）=f′（1）e^2x-2+2x-2f（0），
∴f′（1）=f′（1）+2-2f（0），即f（0）=1，
∴f（x）=e^2x+x²-2x，
设F（x）=e^2xg（x），
F′（x）=g′（x）e^2x+2g（x）e^2x=e^2x[g′（x）+2g（x）]，
∵e^2x＞0，g′（x）+2g（x）＜0，
F′（x）＜0恒成立，
∴F（2015）＞F（2017），
f（2）=e⁴，
e^2×2015g（2015）＞e^2×2017g（2017），
∴g（2015）＞e⁴g（2017），即g（2015）＞f（2）g（2017），
故答案选：D．

点评 本题考查了导数的运算法则和导数和函数的单调性的关系，根据已知条件构造出辅助函数，属于中档题．