Question

18．已知点A是抛物线y²=4x的对称轴与准线的交点，点B是其焦点，点P在该抛物线上，且满足|PA|=m|PB|，当m取得最大值时，点P恰在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的实轴长为（　　）

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． 2$\sqrt{2}$-2
• C． $\sqrt{2}$+1
• D． 2$\sqrt{2}$+2

Answer 1

分析 设P（x，y），利用两点间的距离公式求出m的表达式，结合基本不等式的性质求出m的最值，结合双曲线的定义进行求解即可．

解答 解：设P（x，y），则由题意得A（-1，0），B（1，0），
则m=$\frac{|PA|}{|PB|}$=$\sqrt{\frac{（x+1）^{2}+{y}^{2}}{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{（x+1）^{2}+4x}{（x-1）^{2}+4x}}$=$\sqrt{1+\frac{4x}{{x}^{2}+2x+1}}$，
当x=0时，m=1，
当x＞0时，m=$\sqrt{1+\frac{4x}{{x}^{2}+2x+1}}$=$\sqrt{1+\frac{4}{x+\frac{1}{x}+2}}$≤$\sqrt{1+\frac{4}{2+2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}}$=$\sqrt{2}$，
当且仅当x=1时，取等号，∴此时P（1，±2），
|PA|=2$\sqrt{2}$，|PB|=2，
∵点P在以A，B为焦点的双曲线上，
∴由双曲线的定义得2a=|PA|-|PB|=2$\sqrt{2}-2$，
故选：B．

点评 本题主要考查双曲线性质的应用，利用两点间的距离公式结合基本不等式求出m的最值是解决本题的关键．考查学生的计算能力．