Question

11．若命题“?x₀∈R，使得x₀²+mx₀+2m-3≤0”为假命题，则实数m的取值范围是（2，6）．

Answer 1

分析 先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围．

解答 解：命题“?x₀∈R，使得${{x}_{0}}^{2}$+mx₀+2m-3≤0”的否定为：
“?x₀∈R，都有${{x}_{0}}^{2}$+mx₀+2m-3＞0”，
由于命题“?x₀∈R，使得 ${{x}_{0}}^{2}$+mx₀+2m-3≤0”为假命题，
则其否定为：“?x₀∈R，都有${{x}_{0}}^{2}$+mx0+2m-3＞0”，为真命题，
∴△=m²-4（2m-3）＜0，解得2＜m＜6．
则实数m的取值范围是（2，6），
故答案为：（2，6）．

点评 本题考查二次不等式恒成立，解决此类问题要结合二次函数的图象与性质处理．