Question

16．如图，类似于中国结的一种刺绣图案，这些图案由小正方形构成，其数目越多，图案越美丽，若按照前4个图中小正方形的摆放规律，设第n个图案所包含的小正方形个数记为f（n）．
（1）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f（n+1）与f（n）的关系，并通过你所得到的关系式，求出f（n）的表达式；
（2）计算：$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$，$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$，$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+$\frac{1}{f（4）-1}$的值，猜想$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+…+$\frac{1}{f（n）-1}$的结果，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）计算f（2）-f（1），f（3）-f（2），f（4）-f（3），根据规律猜想f（n+1）与f（n）的关系；使用累加法求出f（n）；
（2）根据n=2，3，4的计算结果猜测$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+…+$\frac{1}{f（n）-1}$，从n=2时验证猜想是否成立，假设n=k时猜想成立，利用f（n）的表达式推导n=k+1时的结果，判断是否符合猜想，得出结论．

解答 解：（1）由图案可知f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，
∴f（2）-f（1）=4，f（3）-f（2）=8，f（4）-f（3）=12，
归纳猜想：f（n+1）=f（n）+4n，
由猜想得：f（n）-f（n-1）=4（n-1），
f（n-1）-f（n-2）=4（n-2），
f（n-2）-f（n-3）=4（n-3），
…
f（2）-f（1）=4×1，
将以上各式相加得：f（n）-f（1）=4（n-1）+4（n-2）+4（n-3）+…+4×1
=4[1+2+3+…+（n-1）]
=4×$\frac{n（n-1）}{2}$=2n²-2n，
∴f（n）=2n²-2n+1．
（2）$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$=1+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$=$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+$\frac{1}{f（4）-1}$=$\frac{11}{8}$．
猜想：$\frac{1}{f（1）}+\frac{1}{f（2）-1}+\frac{1}{f（3）-1}+$…$+\frac{1}{f（n）-1}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2n}$，
证明：①n=2时，$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$=$\frac{5}{4}$，$\frac{3}{2}-\frac{1}{2n}$=$\frac{5}{4}$，故n=2时，猜想成立；
②假设n=k时，猜想成立，即$\frac{1}{f（1）}+\frac{1}{f（2）-1}+\frac{1}{f（3）-1}+$…$\frac{1}{f（k）-1}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2k}$．
则n=k+1时，$\frac{1}{f（1）}+\frac{1}{f（2）-1}+\frac{1}{f（3）-1}+$…$\frac{1}{f（k+1）-1}$=$\frac{1}{f（1）}+\frac{1}{f（2）-1}+\frac{1}{f（3）-1}+$…$\frac{1}{f（k）-1}$+$\frac{1}{f（k+1）-1}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{f（k+1）-1}$=$\frac{3}{2}-\frac{1}{2k}$-$\frac{1}{2（k+1）^{2}-2（k+1）}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$+$\frac{1}{{k}^{2}+k}$）=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2（k+1）}$．
∴当n=k+1时，猜想成立．
由①②可知，对任意n∈N^*，n≥2，都有$\frac{1}{f（1）}+\frac{1}{f（2）-1}+\frac{1}{f（3）-1}+$…$+\frac{1}{f（n）-1}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2n}$．

点评 本题考查了归纳推理，数学归纳法证明，属于中档题．