Question

15．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为H，与C的交点为Q，且|QF|=$\frac{3}{2}$|HQ|．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，分别过A，B且与C相切的直线l₁，l₂相交于点R，求S_△RAB的最小值．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点和准线方程，求得H，Q的坐标，运用抛物线的定义和解方程可得p，进而得到抛物线方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l：y=kx+$\sqrt{2}$，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，求得抛物线对应函数的导数，可得切线的斜率和方程，求得交点R的坐标，再求R到直线l的距离，运用三角形的面积公式，化简整理，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F（0，$\frac{p}{2}$），
准线方程为y=-$\frac{p}{2}$
由题意可得H（4，0），Q（4，$\frac{8}{p}$），
则|HQ|=$\frac{8}{p}$，|QF|=$\frac{8}{p}$+$\frac{p}{2}$，
由|QF|=$\frac{3}{2}$|HQ|，可得$\frac{8}{p}$+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$•$\frac{8}{p}$，
解得p=2$\sqrt{2}$，
则抛物线的方程为x²=4$\sqrt{2}$y；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l：y=kx+$\sqrt{2}$，
代入抛物线x²=4$\sqrt{2}$y，消去y，可得x²-4$\sqrt{2}$kx-8=0，
则x₁+x₂=4$\sqrt{2}$k，x₁x₂=-8，
由y=$\frac{1}{4\sqrt{2}}$x²的导数为y′=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x，
即有l₁：y-y₁=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x₁（x-x₁），由x₁²=4$\sqrt{2}$y₁，
可得l₁：y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x₁x-$\frac{\sqrt{2}}{8}$x₁²，
同理可得l₂：y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x₂x-$\frac{\sqrt{2}}{8}$x₂²，
解得交点R（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{8}$x₁x₂），
即为R（2$\sqrt{2}$k，-$\sqrt{2}$），
即有R到l的距离为d=$\frac{|\sqrt{2}+2\sqrt{2}{k}^{2}+\sqrt{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
又|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{32{k}^{2}+32}$=4$\sqrt{2}$（1+k²），
则S_△RAB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}$•4$\sqrt{2}$（1+k²）•2$\sqrt{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$=8（1+k²）${\;}^{\frac{3}{2}}$，
当k=0时，S_△RAB取得最小值8．

点评 本题考查抛物线的方程的求法，注意运用抛物线的定义，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及抛物线的切线的方程求交点，考查点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．