已知点H在y轴上.点Q(a.0)在x轴的正半轴上.且满足$\overrightarrow{HP}$⊥$\overrightarrow{PQ}$.点M在直线PQ上.且满足$\overrightarrow{PM}$-2$\overrightarrow{MQ}$=$\overrightarrow{0}$.(Ⅰ)当点P在y轴上移动时.求点M的轨迹C的方程,作直线l与轨迹C交于A.B两点.线段AB的垂直平� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．已知点H（-6，0），点P（0，b）在y轴上，点Q（a，0）在x轴的正半轴上，且满足$\overrightarrow{HP}$⊥$\overrightarrow{PQ}$，点M在直线PQ上，且满足$\overrightarrow{PM}$-2$\overrightarrow{MQ}$=$\overrightarrow{0}$，
（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点T（-1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴的交点为E（x₀，0），设线段AB的中点为D，且2|DE|=$\sqrt{3}$|AB|，求x₀的值．

分析（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），求得$\overrightarrow{HP}$、$\overrightarrow{PQ}$、$\overrightarrow{PM}$、$\overrightarrow{MQ}$的坐标，运用向量垂直的条件：数量积为0，向量共线的坐标表示，运用代入法，即可得到所求轨迹方程；
（Ⅱ）由题意知直线l：y=k（x+1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，化简整理，解方程即可得到所求值．

解答解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），
则$\overrightarrow{HP}=（6\;，\;\;b）$，$\overrightarrow{PQ}=（a\;，\;\;-b）$，$\overrightarrow{PM}=（x\;，\;\;y-b）$，
$\overrightarrow{MQ}=（a-x\;，\;\;-y）$，
由$\overrightarrow{HP}$⊥$\overrightarrow{PQ}$，得6a-b²=0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
由$\overrightarrow{PM}$-2$\overrightarrow{MQ}$=0，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=2（a-x）}\\{y-b=-2y}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{2}x}\\{b=3y}\end{array}}\right.$，
则由6a-b²=0得y²=x，
故点M的轨迹C的方程为y²=x（x＞0）；　　　　　
（Ⅱ）由题意知直线l：y=k（x+1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x+1）\;，\;\;}\\{{y^2}=x\;，\;\;}\end{array}}\right.$得k²x²+（2k²-1）x+k²=0（k≠0），
由△=（2k²-1）²-4k⁴=1-4k²＞0，解得-$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{1}{2}$，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{1}{k^2}-2\;，\;\;{x_1}{x_2}=1$，
∴$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{1}{2k}$，
∴$D（\frac{1}{{2{k^2}}}-1\;，\;\;\frac{1}{2k}）$，
${l_{DE}}：y=-\frac{1}{k}（x-\frac{1}{{2{k^2}}}+1）+\frac{1}{2k}$，
令y=0，解得${x_0}=\frac{1}{2}-1+\frac{1}{{2{k^2}}}=\frac{1}{{2{k^2}}}-\frac{1}{2}$，
∴$E（\frac{1}{{2{k^2}}}-\frac{1}{2}\;，\;\;0）$，
∴$|DE|=\sqrt{{{（\frac{1}{2}）}^2}+{{（\frac{1}{2k}）}^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{1+{k^2}}}{k^2}}$，
∴$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|═\frac{{\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{1-4{k^2}}}}{k^2}$，
∵$2|DE|=\sqrt{3}|AB|$，
故有$\frac{{\sqrt{3}×\sqrt{1+{k^2}}×\sqrt{1-4{k^2}}}}{k^2}=2\frac{{|\frac{{1+{k^2}}}{2k}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
则$\frac{{\sqrt{3}×\sqrt{1-4{k^2}}}}{k^2}=|\frac{1}{k}|$，化简得${k^2}=\frac{3}{13}$，此时${x_0}=\frac{5}{3}$．

点评本题考查轨迹方程的求法，注意运用向量共线和垂直的条件，考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

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