【题目】如图,四棱锥中,底面
为矩形,
⊥平面
,
为
的中点.
(Ⅰ)证明:∥平面
;
(Ⅱ)设二面角为60°,
=1,
=
,求三棱锥
的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
试题(1)证明线面平行,根据判定定理就是要证线线平行,而平行线的寻找,又是根据线面平行的性质定理找到,设与
交点为
,过
的平面
与平面
的交线就是
,这就是要找的平行线,由中位线定理易证;(2)要求三棱锥
的体积,关键是求得底面三角形
的面积(高为
到底面的距离,即为
的一半),已知条件是二面角
大小为
,为此可以
为
轴建立空间直角坐标系,设
,写出各点坐标,求得平面
和平面
的法向量,由法向量的夹角与二面角相等或互补可求得
,从而可求得底面积,体积.
试题解析:(1)证明:连,设
,连
,
∵是
的中点,∴
,
∵平面
,
平面
,
∴平面
;
(2)建立如图所示的空间直角坐标系,则
.
设
.则
.
设为平面
的法向量,则
取
.
又为平面
的一个法向量,
∴,∴
.
因为为
的中点,所以三棱锥
的高为
,
∴.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知对任意平面向量,把
绕其起点沿逆时针方向旋转
角得到向量
,叫做把点
绕点
逆时针方向旋转
角得到点
.
(1)已知平面内点,点
.把点
绕点
沿顺时针方向旋转
后得到点
,求点
的坐标;
(2)设平面内曲线上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转
后得到的点的轨迹是曲线
,求原来曲线
的方程,并求曲线
上的点到原点距离的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】手机作为客户端越来越为人们所青睐,通过手机实现衣食住行消费已经成为一种主要的消费方式.在某市,随机调查了200名顾客购物时使用手机支付的情况,得到如下的2×2列联表,已知从使用手机支付的人群中随机抽取1人,抽到青年的概率为.
(I)根据已知条件完成2×2列联表,并根据此资料判断是否有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”?
2×2列联表:
青年 | 中老年 | 合计 | |
使用手机支付 | 120 | ||
不使用手机支付 | 48 | ||
合计 | 200 |
(Ⅱ)现采用分层抽样的方法从这200名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”抽取一个容量为10的样本,再从中随机抽取3人,求这三人中“使用手机支付”的人数的分布列及期望.
附:
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】将参加夏令营的400名学生编号为:001,002,…,400,采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本,且随机抽得的号码为003,这400名学生分住在三个营区,从001到180在第一营区,从181到295在第二营区,从296到400在第三营区,三个营区被抽中的人数分别为( )
A. 18,12,10 B. 20,12,8 C. 17,13,10 D. 18,11,11
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线与C交于A,B两点.△ABF2的周长为
,且椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆C的标准方程:
(2)设点P为椭圆C的下顶点,直线PA,PB与y=2分别交于点M,N,当|MN|最小时,求直线AB的方程.
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