Question

【题目】如图，的外心为O，E是AC的中点，直线OE交AB于点D，M、N分别是的外心、内心.若AB=2BC，证明：为直角三角形.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

证法1：如图，由于点O、M皆在BC的中垂线上

设直线OM交BC于点P，交于点F

则P是BC的中点，F是BC的的中点

因N是的内心，所以，D、N、F三点共线，且

又OE是AC的中垂线，则DC=DA

而DF、OE为∠BDC的内、外角平分线，故

则OF为的直径，所以，OM=MF

又，则NF=BF

作于点H，于是

且

所以，，故DN=BF=NF

因此，MN是的中位线

从而，

而，则

故为直角三角形.

证法2：记，，

因DE是AC的中垂线，所以，AD=CD=b

有 ①

延长DN交于点F，并记FN=e，DN=x

则FB=FC=FN=e

对圆内接四边形BDCF应用托勒密定理得

即 ②

由式①、②得

故知N是弦DF的中点

而M为外心，所以，

故为直角三角形.