Question

【题目】一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁和外壁都是半径为1m的四分之一圆弧，分别与圆弧相切于两点，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m.

（1）若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上，且木棒与内壁圆弧相切于点设试用表示木棒的长度

（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题（1）如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线与于S，并连接PQ，再过N点作TQ的垂线，垂足为W．在中用NW和表示出NS，在中用PQ和表示出QS，然后分别看S在线段TG上和在线段GT的延长线上分别表示出TS=QT-QS，然后在中表示出MS，利用MN=NS+MS求得MN的表达式和的表达式．

（2）设出，则可用t表示出，然后可得关于t的表达式，对函数进行求导，根据t的范围判断出导函数与0的大小，进而就可推断出函数的单调性；然后根据t的范围求得函数的最小值．

试题解析：⑴如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD的垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线于S，并连结PQ，再过点N作TQ的垂线，垂足为W，在中，因为NW=2，，所以，因为MN与圆弧FG切于点P，所以，在中，因为PQ=1，，所以，

①若M在线段TD上，即S在线段TG上，则TS=QT-QS，

在中，，

因此．

②若M在线段CT上，即若S在线段GT的延长线上，则TS=QS-QT，

在中，，

因此．

．

（2）设，则，

因此．因为，又，所以恒成立，

因此函数在是减函数，所以

即．

所以一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为．