Question

【题目】2006 年 8 月中旬 , 湖南省资兴市遇到了百年不遇的洪水灾害 . 在资兴市的东江湖岸边的点 O 处(可视湖岸为直线) 停放着一只救人的小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成 15°，, 速度为2.5 km/ h ，同时，岸上有一人从同一地点开始追赶小船 .已知他在岸上追的速度为4 km/ h ，在水中游的速度为 2 km/h .问此人能否追上小船? 若小船速度改变 ，则小船能被此人追上的最大速度是多少 ?

Answer 1

【答案】答案见解析.

【解析】

如图所示，设此人在岸上跑到点后下水, 在点处追上小船.设船速为,人追上船的时间为, 人在岸上追船的时间为的倍(), 则人在水中游的时间为.

故，.

由余弦定理得.

整理得.

设.

易知.

（1）若，则必存在，使得.

此时，，解得.

（2）若，要使在内有解，

则

解得

故.

综上，当时，人可以追上船.

因此，船速为25km/h时，能追上小船，小船能被人追上的最大速度是km/h.