Question

【题目】已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足.

（1）是否存在边长均为整数的△ABC?若存在，求出三边长；若不存在，说明理由.

（2）若，，，求出△ABC周长的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 存在三边长均为整数的△ABC，其三边长分别为4、5、6或3、7、8. (2)

【解析】

（1）不妨设，显然.

若，此时.

由，可得.矛盾.

故c只能去2、3、4.

当c=2时，，有.

又，故无解.

当时，，即.

又，故或或

解得或或

能构成三角形的只有，，.

当时，同理解得，或，.

而能构成三角形的只有，，.

因此，存在三边长均为整数的△ABC，其三边长分别为4、5、6或3、7、8.

（2）由，

得

故.

又，

则.

故△ABC的周长最小值为，当仅当且时，取得此最小值.