Question

【题目】已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点.

（1）已知平面内点，点.把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标；

（2）设平面内曲线上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到的点的轨迹是曲线，求原来曲线的方程，并求曲线上的点到原点距离的最小值.

Answer 1

【答案】（1） （2）；

【解析】

设则,，根据题意, 点绕点沿顺时针方向旋转,利用代入公式求解即可;

设是曲线上任一点，是点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到的曲线上的点，则，,代入题中的公式,列出与的关系式,利用相关点法求出曲线的方程,由两点间距离公式表示出,令,考虑函数，通过构造对勾函数并判断其单调性求出最小值即可求出的最小值.

（1）由题意知,，设，则，

由条件得

解之得，∴.

（2）设是曲线上任一点，是点绕坐标原点

沿逆时针方向旋转后得到的曲线上的点，

所以，，

则，即

又在曲线上,所以，

即,整理得，

故曲线的方程是，

所以曲线C上的点到原点的距离为，

令，则，考虑函数，

任取且,则，

当时，，，

所以，即，

所以在上单调递减，

同理可证在上单调递增，

所以.

故，即曲线上的点到原点距离的最小值为.