Question

13．三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，侧棱垂直于底面，面积最大的侧面是正方形，且正方形的中心是该三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面积为16π，则三棱柱ABC-A₁B₁C₁的最大体积为4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据球体体积计算球的半径，得出底面直角三角形的斜边长，从而得出底面直角边a，b的关系，利用基本不等式求得ab的最大值，代入棱柱的体积得出体积的最大值．

解答 解：设三棱柱底面直角三角形的直角边为a，b则棱柱的高h=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
设外接球的半径为r，则4πr²=16π，解得r=2，
∵正方形的中心是该三棱柱的外接球的球心，∴$\sqrt{2}$h=2r=4．
∴h=2$\sqrt{2}$，
∴a²+b²=h²=8≥2ab，∴ab≤4．
∴三棱柱的体积V=Sh=$\frac{1}{2}abh$=$\sqrt{2}$ab≤4$\sqrt{2}$．
故答案为4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了棱柱与外接球的关系，求出底面直角边的关系是关键，属于中档题．