Question

2．如图，三棱锥O-ABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直且OA=OB=OC=$\sqrt{2}$，△ABC为
等边三角形，M为△ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且OM=$\frac{1}{3}$MP，PA=PB．
（1）证明：AB⊥平面POC；
（2）求三棱锥A-PBC的体积．

Answer 1

分析 （1）证明AB⊥OC，AB⊥PO，即可证明AB⊥平面POC；
（2）利用等体积转换，即可求三棱锥A-PBC的体积．

解答 （1）证明：因为三棱锥O-ABC的三条棱OA，OB，OC，
所以OC⊥OA，OC⊥OB，
因为OA∩OB=O，所以OC⊥平面OAB，
而AB?平面OAB，所以AB⊥OC．   …（2分）
取AB中点D，连结OD，PD．由OA=OB有AB⊥OD．
由PA=PB有AB⊥PD．                                    …（3分）
因为OD∩PD=D，所以AB⊥平面POD，
而PO?平面POD，所以AB⊥PO．               …（5分）
因为OC∩OP=O，所以AB⊥平面POC，…（6分）
（2）解：由已知可得V_C-OAB=$\frac{1}{3}{S}_{△OAB}•OC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，…（8分）
且AB=AC=BC=2
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$                            …（9分）
设点O、P到平面ABC的距离分别为h₁，h₂，
由V_O-ABC=V_C-OAB得，$\frac{1}{3}$S_△ABCh₁=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，则h₁=$\frac{\sqrt{6}}{3}$       …（10分）
∵$\frac{{h}_{1}}{{h}_{2}}$=$\frac{OM}{MP}$=$\frac{1}{3}$，∴h₂=$\sqrt{6}$                           …（11分）
∴V_A-PBC=V_P-ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABCh₂=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{6}$=$\sqrt{2}$      …（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．