Question

10．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y²=2px（p＞0）的焦点重合，若抛物线的准线交双曲线于A、B两点，当|AB|=4a时，此双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由题意，抛物线的准线方程为x=-c，代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，利用|AB|=4a，求出a，b，c的关系，利用离心率公式即可得出结论．

解答 解：由题意，抛物线的准线方程为x=-c，代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵|AB|=4a，
∴$\frac{2{b}^{2}}{a}$=4a，
∴b=$\sqrt{2}$a，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题考查抛物线、双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．