Question

18．已知点P在△ABC内（不含边界），且$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，则$\frac{y+1}{x+2}$的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{1}{3}$，1）
• B． （$\frac{1}{2}$，1）
• C． （$\frac{2}{3}$，1）
• D． （$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 由条件及向量加法的平行四边形法则、向量数乘的几何意义便可得出x，y∈（0，1），并且有y趋向1时，x趋向0，而y趋向0时，x趋向1，而对于$\frac{y+1}{x+2}$：y越大，x越小时其值越大，反之越小，这样便可得出$\frac{1}{3}＜\frac{y+1}{x+2}＜1$，即得出$\frac{y+1}{x+2}$的取值范围．

解答 解：如图，
根据条件及$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$得：0＜x＜1，0＜y＜1；
∴y越大，x越小时，$\frac{y+1}{x+2}$越大，且y趋向1时，x趋向0；
∴$\frac{y+1}{x+2}＜\frac{1+1}{0+2}=1$；
同样，y越小，x越大时，$\frac{y+1}{x+2}$越小，且y趋向0时，x趋向1；
∴$\frac{y+1}{x+2}＞\frac{0+1}{1+2}=\frac{1}{3}$；
∴$\frac{1}{3}＜\frac{y+1}{x+2}＜1$；
即$\frac{y+1}{x+2}$的取值范围为$（\frac{1}{3}，1）$．
故选：A．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，以及向量数乘的几何意义，能判断x，y取值对$\frac{y+1}{x+2}$取值的影响．