Question

10．设E为正方形ABCD边AB的中点，分别在边AD、BC上任取两点P、Q．则∠PEQ为锐角的概率为$\frac{3-2ln2}{4}$．

Answer 1

分析 利用两角和的正切公式，结合线性规划问题以及几何概型的概率公式即可得到．

解答 解：设正方形的边长为2，AP=x，BQ=y，如图1，

则0≤x≤2，0≤y≤2，平面区域{（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2}对应的区域面积S=4．
E为AB中点，则tan∠QEB=$\frac{BQ}{EB}$=y，tan∠AEP=$\frac{AP}{AE}$=x，
则tan（∠QEB+∠AEP）=$\frac{tan∠QEB+tan∠AEP}{1-tan∠QEBtan∠AEP}$=$\frac{x+y}{1-xy}$，
若∠PEQ为锐角，则等价为∠QEB+∠AEP是钝角，
即tan（∠QEB+∠AEP）=$\frac{x+y}{1-xy}$＜0，
即1-xy＜0，即y＞$\frac{1}{x}$，
作出对应的平面区域如图2：
当y=2时，由y=$\frac{1}{x}$，解得x=$\frac{1}{2}$，满足y＞$\frac{1}{x}$的部分如图 2阴影部分，
其面积为：${∫}_{\frac{1}{2}}^{2}$（2-$\frac{1}{x}$）dx=（2x-lnx）|${\;}_{\frac{1}{2}}^{2}$=3-2ln2，
由几何概型公式得到∠PMQ为锐角的概率为$\frac{3-2ln2}{4}$；
故答案为：$\frac{3-2ln2}{4}$．

点评 本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件将∠PMQ为锐角进行转化，利用积分求出对应区域的面积是解决本题的关键，综合性较强．