Question

5．己知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），以C的一个顶点为圆心，a为半径的圆被C截得的劣弧长为$\frac{2π}{3}a$，则双曲线C的离心率为$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 设双曲线与圆A在第一象限的交点为P，由题意可得AP与x轴的夹角为60°，由三角函数的定义可得P的坐标，代入双曲线的方程，结合a，b，c和离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设双曲线与圆A在第一象限的交点为P，
由题意可得AP与x轴的夹角为60°，
即有P（a+acos60°，asin60°），
即为（$\frac{3a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），
代入双曲线的方程可得$\frac{9{a}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{3{a}^{2}}{4{b}^{2}}$=1，
即有3a²=5b²=5（c²-a²），
即5c²=8a²，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．