Question

20．已知点F₁、F₂是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F₁F₂|=2|OP|，|PF₁|≥3|PF₂|，则双曲线C的离心率的取值范围为（　　）

• A． （1，+∞）
• B． [$\frac{\sqrt{10}}{2}$，+∞）
• C． （1，$\frac{\sqrt{10}}{2}$]
• D． （1，$\frac{5}{2}$]

Answer 1

分析 由直角三角形的判定定理可得△PF₁F₂为直角三角形，且PF₁⊥PF₂，运用双曲线的定义，可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
又|PF₁|≥3|PF₂|，可得|PF₂|≤a，再由勾股定理，即可得到c≤$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，运用离心率公式，即可得到所求范围．

解答 解：由|F₁F₂|=2|OP|，可得|OP|=c，
即有△PF₁F₂为直角三角形，且PF₁⊥PF₂，
可得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
由双曲线定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
又|PF₁|≥3|PF₂|，可得|PF₂|≤a，
即有（|PF₂|+2a）²+|PF₂|²=4c²，
化为（|PF₂|+a）²=2c²-a²，
即有2c²-a²≤4a²，
可得c≤$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，
由e=$\frac{c}{a}$可得
1＜e≤$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用双曲线的定义和直角三角形的性质，考查运算能力，属于中档题．