Question

12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{x}^{2}-1|，0≤x≤2}\\{f（x-1），x＞2}\\{\;}\end{array}\right.$，若方程f（x）=kx恰有4个不同的根，则实数k的取值范围是$\frac{3}{5}$＜k≤$\frac{3}{4}$或-$\frac{3}{4}$≤k＜-$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 根据条件作出函数f（x）的图象，利用数形结合建立g（x）=kx与f（x）的大小关系即可得到结论．

解答 解：当2＜x≤3时，1＜x-1≤2，
则f（x）=f（x-1）=|（x-1）²-1|，
∵函数f（x）是偶函数，作出函数f（x）的图象如图

∴若方程f（x）=kx恰有4个不同的根，
则等价为函数g（x）=kx在AB之间或在CD之间（包含C，A），
f（5）=f（4）=f（3）=f（2）=3，
要使f（x）=kx恰有4个不同的根，则满足$\left\{\begin{array}{l}{g（4）=4k≤3}\\{g（5）=5k＞3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{g（-4）=-4k≤3}\\{g（-5k）=-5k＞3}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k≤\frac{3}{4}}\\{k＞\frac{3}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k≥-\frac{3}{4}}\\{k＜-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
即$\frac{3}{5}$＜k≤$\frac{3}{4}$或-$\frac{3}{4}$≤k＜-$\frac{3}{5}$，
故答案为：$\frac{3}{5}$＜k≤$\frac{3}{4}$或-$\frac{3}{4}$≤k＜-$\frac{3}{5}$，

点评 本题主要考查函数与方程的应用，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．