Question

4．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，椭圆的右焦点F到双曲线x²-y²=1的一条渐近线的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，已知过点F斜率为k₁直线l交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设线段AB的中点为M，直线OM（其中O为原点）的斜率为k₂，判断k₁•k₂是否为定值，如果是，求出该值；如果不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和点到直线的距离公式，可得c=1，a=2，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；
（2）设出直线l的方程，代入椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M的坐标，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求定值．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
由椭圆的右焦点F（c，0）到双曲线x²-y²=1的一条渐近线y=x的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得$\frac{c}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得c=1，
即有a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
可得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）可得过点F（1，0）斜率为k₁直线l的方程为y=k₁（x-1），
代入椭圆方程可得（3+4k₁²）x²-8k₁²x+4k₁²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{8{{k}_{1}}^{2}}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$，
即有中点M（$\frac{4{{k}_{1}}^{2}}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$，-$\frac{3{k}_{1}}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$），
可得k₂=$\frac{{y}_{M}}{{x}_{M}}$=$\frac{-3{k}_{1}}{4{{k}_{1}}^{2}}$=-$\frac{3}{4{k}_{1}}$，
即有k₁k₂=-$\frac{3}{4}$．
则k₁•k₂为定值-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点到直线的距离公式，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，以及直线的斜率公式的运用，属于中档题．