Question

19．圆O上两点C，D在直径AB的两侧（如图甲），沿直径AB将圆O折起形成一个二面角（如图乙），若∠DOB的平分线交弧$\widehat{BD}$于点G，交弦BD于点E，F为线段BC的中点．

（Ⅰ）证明：平面OGF∥平面CAD．
（Ⅱ）若二面角C-AB-D为直二面角，且AB=2，∠CAB=45°，∠DAB=60°，求四面体FCOG的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：平面OGF∥平面CAD，只需要证明OG∥平面ACD，证明OG∥AD即可；
（Ⅱ）过G作GH⊥AB，垂足为H，证明线段GH长即为三棱锥G-COF的高，利用V_{四面体FCOG}=V_{三棱锥G-COF}，即可求四面体FCOG的体积．

解答 （Ⅰ）证明：∵OF为△ABC的一条中位线，
∴OF∥AC．
∵OF?平面ACD，AC?平面ACD，
∴OF∥平面ACD …..…（2分）
∵OG为∠DOB的平分线，∴OG⊥BD．
又可知AD⊥BD，∴OG∥AD…..…（4分）
∵OG?平面ACD，AD?平面ACD，∴OG∥平面ACD…（5分）
∵OG，OF为平面OGF内的两条相交直线，∴平面OGF∥平面CAD…..…（6分）
（Ⅱ）解：过G作GH⊥AB，垂足为H，
又二面角C-AB-D为直二面角，即平面CAB⊥平面DAB．
由已知得O为Rt△ABC斜边AB的中点，∴CO⊥AB，则CO⊥平面DAB，
∴CO⊥GH，∴GH⊥平面CAB，
∴线段GH长即为三棱锥G-COF的高…（8分）
又Rt△DAB中，AB=2，∠DAB=60°，∴AD=1，
又OG∥AD，OG=1，OA=1，∴ADGO为菱形，∠AOG=120°，
∴△GOB是边长为1的正三角形，∴GH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$…（10分）
又可知△COF为等腰直角三角形，∴${S}_{△COF}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{4}$…（11分）
∴V_{四面体FCOG}=V_{三棱锥G-COF}=$\frac{1}{3}×{S}_{△COF}×GH=\frac{\sqrt{3}}{24}$…（12分）

点评 本题考查线线、线面、面面关系，考查面面、线面平行的判定及几何体高与体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及分析探究问题和解决问题的能力．