Question

7．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为N，点N到抛物线C的准线的距离为$\frac{3}{4}$．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当过点P（4，1）的动直线l与抛物线C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|$\overrightarrow{AP}$|•|$\overrightarrow{QB}$|=|$\overrightarrow{AQ}$|•|$\overrightarrow{PB}$|，证明：点Q总在某定直线上．

Answer 1

分析 （1）由题意，过M，F，O三点的圆的圆心为N，点N到抛物线C的准线的距离为$\frac{3}{4}$，可得$\frac{p}{2}$+$\frac{p}{4}$=$\frac{3}{4}$，求出p，即可求抛物线C的方程；
（2）设点Q（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设$\overrightarrow{AP}$=-λ$\overrightarrow{AQ}$，$\overrightarrow{PB}$=λ$\overrightarrow{QB}$（0＜λ＜1），于是x₁=$\frac{4-λx}{1-λ}$，y₁=$\frac{1-λy}{1-λ}$，x₂=$\frac{4+λx}{1+λ}$，y₂=$\frac{1+λy}{1+λ}$，又点A、B在抛物线C上，即x₁²=2y₁，x₂²=2y₂，代入相减能证明点Q总在直线上．

解答 （1）解：由题意，过M，F，O三点的圆的圆心为N，点N到抛物线C的准线的距离为$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{p}{2}$+$\frac{p}{4}$=$\frac{3}{4}$，∴p=1，
∴抛物线C的方程为x²=2y；
（2）证明：设点Q、A、B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由题设|$\overrightarrow{AP}$|•|$\overrightarrow{QB}$|=|$\overrightarrow{AQ}$|•|$\overrightarrow{PB}$|，A，P，B，Q四点共线，可得$\overrightarrow{AP}$=-λ$\overrightarrow{AQ}$，$\overrightarrow{PB}$=λ$\overrightarrow{QB}$（0＜λ＜1），
于是x₁=$\frac{4-λx}{1-λ}$，y₁=$\frac{1-λy}{1-λ}$，x₂=$\frac{4+λx}{1+λ}$，y₂=$\frac{1+λy}{1+λ}$
又点A、B在抛物线C上，即x₁²=2y₁，x₂²=2y₂，
代入相减得4x-y-1=0，
即点Q（x，y）总在定直线4x-y-1=0上．

点评 本题综合考查抛物线方程与定比分点定理，同时考查构造消元处理方程组的能力．