Question

15．如图，异面直线AB，CD互相垂直，CF是它们的公垂线段，且F为AB的中点，作DE$\stackrel{∥}{=}$CF，连接AC、BD，G为BD的中点，AB=AC=AE=BE=2．
（1）在平面ABE内是否存在一点H，使得AC∥GH？若存在，求出点H所在的位置，若不存在，请说明理由；
（2）求G-ACD的体积．

Answer 1

分析 （1）假设存在H使得AC∥GH，取BE的中点M，连结GM，MH，EF，则可证EF⊥平面GMH，BE⊥平面GMH，于是过点E有两条直线与平面GMH垂直，得出矛盾；
（2）连结DF，过C作CN⊥DF，则可证CN⊥平面ABD，而S_△ADG=$\frac{1}{2}{S}_{△ABD}$，利用勾股定理解出CH，CD，DH，CN，于是V_G-ACD=V_C-ADG=$\frac{1}{3}{S}_{△ADG}•CN$．

解答 解：（1）平面ABE内不存在一点H，使得AC∥GH．
证明：反证法．
假设平面ABE内存在一点H，使得AC∥GH，取BE的中点M，连结GM，MH，EF．
∵DE$\stackrel{∥}{=}$CF，CD⊥CF，∴四边形EFCD是矩形，
∴EF⊥CF，又EF⊥AB，EF?平面ABE，AB?平面ABE，EF∩AB=F，
∴CF⊥平面ABE，
∵AB=AE=BE，F是AB的中点
∴EF⊥AB，又AB?平面ACF，CF?平面ACF，AB∩CF=F，
∴EF⊥平面ACF，∵AC?平面ACF，
∴EF⊥AC．∵AC∥GH，
∴EF⊥GH，
∵G，M分别是BD，BE的中点，∴GM∥ED，
又DE∥CF，∴GM∥CF，
∴GM⊥平面ABE，∵EF?平面ABE，
∴GM⊥EF，又GH?平面GMH，GM?平面GMH，GM∩GH=G，
∴EF⊥平面GMH，∵MH?平面GMH，
∴EF⊥MH，
∵△ABE是等边三角形，M，F是BE，AB的中点，
∴H在线段AM上．
∴MH⊥BE，又GM⊥平面ABE，BE?平面ABE，
∴GM⊥BE．又GM?平面GMH，MH?平面GMH，GM∩GH=G，
∴BE⊥平面GMH．
于是过E点有两条直线BE，EF都与平面GMH垂直，而这是不可能的
∴平面ABE内不存在一点H，使得AC∥GH．
（2）连结DF，过C作CN⊥DF，

∵AB⊥CF，AB⊥CD，CD?平面CDF，CF?平面CDF，CD∩CF=C，
∴AB⊥平面CDF，∵CN?平面CDF，
∴AB⊥CN，又CN⊥DF，AB?平面ABD，DF?平面ABD，AB∩DF=F，
∴CN⊥平面ABD．
∵AB=AE=AC=BE=2，∴DE=CF=$\sqrt{A{C}^{2}-A{F}^{2}}=\sqrt{3}$，CD=EF=$\sqrt{3}$，
∴DF=$\sqrt{2}CF$=$\sqrt{6}$．∴CN=$\frac{CD•CF}{DF}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∵G是BD的中点，∴S_△ADG=$\frac{1}{2}{S}_{△ABD}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{6}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴V_G-ACD=V_C-ADG=$\frac{1}{3}{S}_{△ADG}•CN$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，构造平面GMH得出矛盾是解题难点．