Question

4．已知x=1，x=3是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）两个相邻的两个极值点，且f（x）在x=$\frac{3}{2}$处的导数f′（$\frac{3}{2}$）＜0，则f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 f（x）的周期为2×（3-1）=4，解出ω，由f′（$\frac{3}{2}$）＜0得出f（1）=f_max（x）=1，利用正弦函数的性质解出φ，得到f（x）的解析式，再计算f（$\frac{1}{3}$）．

解答 解：∵x=1，x=3是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）两个相邻的两个极值点，
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{ω}$=2×（3-1）=4，∴ω=$\frac{π}{2}$．
∵f′（$\frac{3}{2}$）＜0，
∴f（x）在[1，3]上是减函数，∴f（1）=sin（$\frac{π}{2}$+φ）=1，
∴$\frac{π}{2}$+φ=$\frac{π}{2}+2kπ$，∴φ=2kπ．
∴f（$\frac{1}{3}$）=sin（$\frac{π}{6}+2kπ$）=sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质，导数与函数单调性的关系，属于中档题．