Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（0，1），且圆x²+y²=a²被直线x-y-$\sqrt{2}$=0截得的弦长为2
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知k≠0，动直线y=k（x-1）与椭圆C的两个交点分别为A，B，问：在x轴上是否存在定点M，使得$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（0，1），代入解得b=1．由于圆x²+y²=a²被直线x-y-$\sqrt{2}$=0截得的弦长为2，可得2$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}）^{2}}$=2，解得a²．即可得出．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0）．直线方程与椭圆方程联立化为：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，利用根与系数的关系代入$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂=m²+$\frac{{k}^{2}（1-4m）-2}{1+2{k}^{2}}$，令1-4m=-4，即可得出．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（0，1），∴$0+\frac{1}{{b}^{2}}$=1，解得b=1．
∵圆x²+y²=a²被直线x-y-$\sqrt{2}$=0截得的弦长为2，∴2$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}）^{2}}$=2，解得a²=2．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂
=（k²+1）x₁x₂-（m+k²）（x₁+x₂）+m²+k²
=$\frac{（{k}^{2}+1）（2{k}^{2}-2）}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{（m+{k}^{2}）×4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+m²+k²=m²+$\frac{{k}^{2}（1-4m）-2}{1+2{k}^{2}}$，
令1-4m=-4，即m=$\frac{5}{4}$时，$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$=m²-2=-$\frac{7}{16}$为定值．
点M$（\frac{5}{4}，0）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．