Question

6．解关于x的不等式：$\frac{{x}^{2}+ax-2}{x-1}≤x+1$．

Answer 1

分析 原不等式转化为$\frac{ax-1}{x-1}$≤0，对a进行分类讨论，即可求出不等式的解集．

解答 解：$\frac{{x}^{2}+ax-2}{x-1}≤x+1$得到：$\frac{{x}^{2}+ax-2}{x-1}$-（x+1）≤0，即为$\frac{{x}^{2}+ax-2}{x-1}$-$\frac{{x}^{2}-1}{x-1}$≤0，
即为$\frac{ax-1}{x-1}$≤0，
当a=0时，$\frac{1}{x-1}$≥0，解得x＞1，
当a=1时，1≤0，解集为空集，
当a＜0时，即为（x-$\frac{1}{a}$）（x-1）≥0，且x≠1，
解得x≤$\frac{1}{a}$或x＞1，
当a＞0时，即为（x-$\frac{1}{a}$）（x-1）≤0，且x≠1，
当0＜a＜1时，$\frac{1}{a}$＞1，解得1＜x≤$\frac{1}{a}$，
当a＞1时，解得$\frac{1}{a}$≤x＜1，
综上所述，当a=1时，1≤0，解集为空集，
当a＜0时，解集为（{x|x≤$\frac{1}{a}$或x＞1}
当a=0时，解集为{x|x＞1}，
当0＜a＜1时，解集为{x|1＜x≤$\frac{1}{a}$}，
当a=1时，解集为空集，
当a＞1时，解集为{x|$\frac{1}{a}$≤x＜1}．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法以及讨论思想的运用；关键是准确分类做到不重不漏．