Question

12．设f（x）=（x-1）²，g（x）=x²-1．
（1）写出f[g（x）]的解析式；
（2）求函数f[g（x）]的单调区间．

Answer 1

分析 （1）利用函数的解析式直接求解即可．
（2）先求导，导数大于0，函单调递增，导数小于0，函数单调递减；

解答 解：（1）函数f[g（x）]的解析式为：f[g（x）]=（x²-1-1）²=x⁴-4x²+4，
∴f[g（x）]的解析式：f[g（x）]=x⁴-4x²+4，
（2）f[g（x）]=x⁴-4x²+4，
求导f′[g（x）]=4x³-8x，
令f′[g（x）]=0，4x³-8x=0，
解得x=-$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{2}$；
f′[g（x）]＞0，x＞$\sqrt{2}$或-$\sqrt{2}$＜x＜0，
f′[g（x）]＜，0＜x＜$\sqrt{2}$，或x＜-$\sqrt{2}$，
∴函数f[g（x）]的单调递增区间为（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，+∞）；
函数f[g（x）]的单调减区间（-∞，-$\sqrt{2}$），（0，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查求复活函数的解析式及利用导数求函数的单调区间，难度不大，是近些年高考常考题意，属于中档题．