Question

4．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（1，$\frac{3}{2}$），且离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l过椭圆C的左焦点F₁交椭圆于A，B两点，AB的中垂线交长轴于点D，试探索$\frac{|D{F}_{1}|}{|AB|}$是否为定值？若是，求出该定值，否则说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{9}{4}}{{b}^{2}}$=1，从而求椭圆C的方程；
（2）分类讨论，从而分别确定$\frac{|D{F}_{1}|}{|AB|}$=$\frac{1}{4}$；从而证明．当斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=k（x+1），k≠0；从而联立方程化简得（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，利用韦达定理求距离，从而求比值．

解答 解：（1）由题意知，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{9}{4}}{{b}^{2}}$=1，
解得，a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1；
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）①当直线l的斜率为0时，|AB|=2a=4，
|DF₁|=c=1，
故$\frac{|D{F}_{1}|}{|AB|}$=$\frac{1}{4}$；
②当直线l的斜率不存在时，|DF₁|不存在，
故$\frac{|D{F}_{1}|}{|AB|}$不存在；
③设直线l的方程为y=k（x+1），k≠0；
与$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1联立消元可得：
（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
故|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{144（{k}^{2}+1）}{（4{k}^{2}+3）^{2}}}$=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+3}$；
$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=-$\frac{4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$k（x₁+x₂）+k=$\frac{3k}{4{k}^{2}+3}$
故AB的中点的坐标为（-$\frac{4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，$\frac{3k}{4{k}^{2}+3}$），
故AB的中垂线的方程为y-$\frac{3k}{4{k}^{2}+3}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$），
令y=0解得，x=-$\frac{{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，
故D（-$\frac{{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，0），
故|DF₁|=|-$\frac{{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$+1|=$\frac{3（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+3}$，
故$\frac{|D{F}_{1}|}{|AB|}$=$\frac{1}{4}$；
综上所述，$\frac{|D{F}_{1}|}{|AB|}$为定值$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了椭圆与直线的位置关系，同时考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想方法应用．