Question

17．焦点在x轴的椭圆，顺次连接椭圆的短轴顶点和焦点形成一边长为$\sqrt{2}$的正方形，求：
（1）椭圆的标准方程；
（2）椭圆的焦点坐标、顶点坐标和离心率．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），根据顺次连接椭圆的短轴顶点和焦点形成一边长为$\sqrt{2}$的正方形，可得b=c=1，a²=b²+c²．即可得出．
（2）由b=c=1，a²=2．即可得出椭圆的焦点坐标、顶点坐标和离心率．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），∵顺次连接椭圆的短轴顶点和焦点形成一边长为$\sqrt{2}$的正方形，
∴b=c=1，∴a²=b²+c²=2．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）由b=c=1，a²=2．
可得焦点坐标（±1，0），顶点$（±\sqrt{2}，0）$，（0，±1）．
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、正方形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．