Question

13．已知点（-$\sqrt{2}$，0）到双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{3}$
• D． $\sqrt{5}$+1

Answer 1

分析 求得双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得b=$\frac{1}{3}$a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
由题意可得$\frac{\sqrt{2}b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
化为b²=$\frac{1}{9}$a²，由c²=a²+b²，
可得c²=$\frac{10}{9}$a²，即c=$\frac{\sqrt{10}}{3}$a，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点到直线的距离公式，考查双曲线的渐近线方程及运用，属于基础题．