Question

4．直线l：y=kx与曲线C：y=x³-4x²+3x顺次相交于A，B，C三点，若|AB|=|BC|，则k=（　　）

• A． -5
• B． -$\frac{5}{9}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 联立直线方程与曲线方程，求出A（0，0），B，C的横坐标为方程x²-4x+3-k=0的两根，结合|AB|=|BC|，可得方程x²-4x+3-k=0两根的关系，求出根代入即可求得k值．

解答 解：联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{3}-4{x}^{2}+3x}\end{array}\right.$，得x³-4x²+3x-kx=0，
∴x=0或x²-4x+3-k=0，
∵直线l：y=kx与曲线C：y=x³-4x²+3x顺次相交于A，B，C三点，
∴方程x²-4x+3-k=0有两不相等的实数根，
又方程x²-4x+3-k=0的对称轴方程为x=2，则方程至少有一正根，
结合对称性进一步得到方程有两正根，且A（0，0），
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由|AB|=|BC|，得x₁-0=x₂-x₁，即x₂=2x₁，
由x²-4x+3-k=0，得$x=\frac{4±\sqrt{16-4（3-k）}}{2}=2±\sqrt{k+1}$．
∴${x}_{1}=2-\sqrt{k+1}，{x}_{2}=2+\sqrt{k+1}$，
则$2+\sqrt{k+1}=2（2-\sqrt{k+1}）$，解得：k=-$\frac{5}{9}$．
故选：B．

点评 本题考查曲线与方程，考查了推理论证能力与运算能力，是中档题．