Question

16．设双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（-c，0）（c＞0），P为双曲线C右支上的一点，线段PF与圆x²+y²+$\frac{2c}{3}$x+$\frac{a^2}{9}$=0相切于点Q，且$\overrightarrow{PF}$+3$\overrightarrow{FQ}$=$\overrightarrow 0$，则双曲线C的离心率为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 运用对应边成比例，可得QC∥PE，再由双曲线的定义，以及直线和圆相切的性质，运用勾股定理和离心率公式，建立方程关系即可得到结论．

解答 解：圆的标准方程为（x+$\frac{c}{3}$）²+y²=$\frac{{c}^{2}}{9}$-$\frac{a^2}{9}$=$\frac{{b}^{2}}{9}$，
则圆心坐标D（-$\frac{c}{3}$，0），半径R=$\frac{b}{3}$，
则$\frac{FD}{FE}$=$\frac{c-\frac{c}{3}}{2c}=\frac{\frac{2}{3}}{2}$=$\frac{1}{3}$，
∵$\overrightarrow{PF}$+3$\overrightarrow{FQ}$=$\overrightarrow 0$，
∴$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{QF}$，
∴|$\overrightarrow{PF}$|=3|$\overrightarrow{QF}$|，
∴$\frac{QF}{PF}$=$\frac{1}{3}$
即$\frac{FD}{FE}$=$\frac{QF}{PF}$=$\frac{1}{3}$，
则QD∥PE，
则PF=3QD=3×$\frac{b}{3}$=b，
∵直线PF与圆（x+$\frac{c}{3}$）²+y²=$\frac{{b}^{2}}{9}$，相切于点Q，
∴QC⊥PF，
则PE⊥PF，
则PF=$\sqrt{F{E}^{2}-P{E}^{2}}$=$\sqrt{4{c}^{2}-{b}^{2}}$，
由双曲线的定义可得，|PF|-|PE|=2a，
即$\sqrt{4{c}^{2}-{b}^{2}}$-b=2a，
即$\sqrt{4{c}^{2}-{b}^{2}}$=2a+b，
平方得4c²-b²=4a²+4ab+b²，
即4c²-4a²-2b²=4ab，
即4b²-2b²=4ab，
即2b²=4ab，
则b=2a，c²=5a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$

点评 本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查直线和圆相切的条件，以及中位线定理和勾股定理的运用，考查运算能力，利用数形结合是解决本题的关键．