Question

4．已知抛物线y²=2px的焦点F（1，0），过F作直线l交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，如图所示，A在x轴上方．
（1）若|AB|=8时，求直线l的倾斜角；
（2）设P（-1，0），求证：∠APQ=∠CPQ；
（3）设Q（2，0），AQ的延长线交抛物线于C，设BC的中点为D，当直线DF在y轴上的截距为m，且m∈（0，+∞），求y₁取值范围．

Answer 1

分析 （1）设l：y=k（x-1），与y²=4x，消去x得${y}^{2}-\frac{4}{k}y-4=0$，由韦达定理和椭圆弦长公式能求出直线l的方程．
（2）由y_Ay_B=-4，和得k_PA+k_PB=0，证明直线PA，PB的斜率之和为0，由此能证明：∠APQ=∠CPQ．
（3）由（1）得C（$\frac{16}{{{y}_{A}}^{2}}，\frac{-8}{{y}_{A}}$），B（$\frac{4}{{{y}_{A}}^{2}}，\frac{-4}{{y}_{A}}$），从而D（$\frac{10}{{{y}_{A}}^{2}}，\frac{-6}{{y}_{A}}$），DF：y=$\frac{6{y}_{A}}{{{y}_{A}}^{2}-10}$（x-1），由此能求出y₁取值范围．

解答 （1）解：抛物线y²=2px的焦点F（1，0），抛物线的方程为y²=4x
由直线与抛物线有两个不同交点知直线l的斜率不为零，
当直线l的斜率存在且不为零时，设l：y=k（x-1），
与y²=4x，消去x得${y}^{2}-\frac{4}{k}y-4=0$，
∴y_Ay_B=-4，y_A+y_B=$\frac{4}{k}$，
当l斜率不存在时，y_Ay_B=-4，∴y_Ay_B=-4，
|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$|y₁-y₂|=8，
解得k=±1，
∴直线l的方程为：y=x-1或y=-x+1，直线l的倾斜角为45°或135°．
（2）证明：∵y_Ay_B=-4，
∴k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{A}}{{x}_{A}+1}+\frac{{y}_{B}}{{x}_{B}+1}$=$\frac{（{y}_{A}+{y}_{B}）（1+\frac{{y}_{A}{y}_{B}}{4}）}{（{x}_{A}+1）（{x}_{B}+1）}$=0，
∴直线PA，PB的斜率之和为0，
∴∠APQ=∠CPQ；
（3）解：由（1）得C（$\frac{16}{{{y}_{A}}^{2}}，\frac{-8}{{y}_{A}}$），B（$\frac{4}{{{y}_{A}}^{2}}，\frac{-4}{{y}_{A}}$），
∴D（$\frac{10}{{{y}_{A}}^{2}}，\frac{-6}{{y}_{A}}$），∴DF：y=$\frac{6{y}_{A}}{{{y}_{A}}^{2}-10}$（x-1），
令x=0，得-$\frac{6{y}_{A}}{{{y}_{A}}^{2}-10}$∈（0，+∞），∴y_A∈（-∞，-4）∪（0，4），
∴y_A取值范围是（-∞，-4）∪（0，4），即y₁取值范围是（-∞，-4）∪（0，4）．

点评 本题考查直线方程的求法，考查角相等的证明，考查点的纵坐标的取值范围的求法，难度大．