Question

12．设平面向量$\overrightarrow a=\overrightarrow{OA}$，定义以x轴非负半轴为始边，逆时针方向为正方向，OA为终边的角称为向量$\overrightarrow a$的幅角．若r₁是向量$\overrightarrow a$的模，r₂是向量$\overrightarrow b$的模，$\overrightarrow a$的幅角是θ₁，$\overrightarrow b$的幅角是θ₂，定义$\overrightarrow a?\overrightarrow b$的结果仍是向量，它的模为r₁r₂，它的幅角为θ₁+θ₂．给出$\overrightarrow a=（{x_1}，{y_1}），\overrightarrow b=（{x_2}，{y_2}）$．试用$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$的坐标表示$\overrightarrow a?\overrightarrow b$的坐标，结果为$\overrightarrow a?\overrightarrow b=（{x_1}{x_2}-{y_1}{y_2}，{x_1}{y_2}+{x_2}{y_1}）$．

Answer 1

分析 根据题意，得出向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的坐标表示，利用向量的坐标运算计算$\overrightarrow a?\overrightarrow b$即可．

解答 解：根据题意，$\overrightarrow a={r_1}（cos{θ_1}，sin{θ_1}），\overrightarrow b={r_2}（cos{θ_2}，sin{θ_2}）$，
其中x₁=r₁cosθ₁，y₁=r₁sinθ₁，x₂=r₂cosθ₂，y₂=r₂sinθ₂，
所以$\overrightarrow a?\overrightarrow b$=r₁r₂（cos（θ₁+θ₂），sin（θ₁+θ₂））；
又因为r₁r₂cos（θ₁+θ₂）=r₁r₂cosθ₁cosθ₂-r₁r₂sinθ₁sinθ₂
=x₁x₂-y₁y₂，r₁r₂sin（θ₁+θ₂）
=r₁r₂sinθ₁cosθ₂+r₁r₂cosθ₁sinθ₂=x₁y₂+y₁x₂，
所以$\overrightarrow a?\overrightarrow b=（{x_1}{x_2}-{y_1}{y_2}，{x_1}{y_2}+{x_2}{y_1}）$．
故答案为：$\overrightarrow a?\overrightarrow b=（{x_1}{x_2}-{y_1}{y_2}，{x_1}{y_2}+{x_2}{y_1}）$．

点评 本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，也考查了新定义的运算问题，是易错题目．