Question

16．已知函数f（x）的定义域为R，对任意x₁＜x₂，有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞-1，且f（1）=1，则不等式f（log₂|3^x-1|）＜2-log₂|3^x-1|的解集为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，1）
• C． （-1，0）∪（0，3）
• D． （-∞，0）∪（0，1）

Answer 1

分析 由题意可得函数R（x）=f（x）+x是R上的增函数，f（log₂|3^x-1|）+log₂|3^x-1|＜f（1）+1，可得-2＜3^x-1＜2，且3^x-1≠0，由此求得x的范围．

解答 解：∵函数f（x）的定义域为R，对任意x₁＜x₂，有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞-1，即 $\frac{[f{（x}_{1}）{+x}_{1}]-[f{（x}_{2}）{+x}_{2}]}{{x}_{1}{-x}_{2}}$＞0，
故函数R（x）=f（x）+x是R上的增函数，
由不等式f（log₂|3^x-1|）＜2-log₂|3^x-1|，可得f（log₂|3^x-1|）+log₂|3^x-1|＜2=f（1）+1，
∴log₂|3^x-1|＜1，故-2＜3^x-1＜2，且3^x-1≠0，求得3^x＜3，且x≠0，
解得 x＜1，且x≠0，
故选：D．

点评 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，判断函数R（x）=f（x）+x是R上的增函数，是解题的关键，属于中档题．